Reconstructie examen Statistiek 1 - januari 2024

Dit is de eerste examenperiode met prof. De Roover. We zijn dan ook erg benieuwd hoe verschillend haar examens zijn t.o.v. haar voorganger prof. Van Mechelen. Onderstaande reconstructie werd uitgewerkt op basis van de Google docs van de studenten. Het document is helaas onvolledig en bevat een aantal fouten, wat een perfecte reconstructie onmogelijk maakt.

Eerste indruk

• wat bleef hetzelfde
  • grote lijn zijn onveranderd
  • populaire topics
    • kansrekenen
    • optimale lineaire voorspelling
    • somvariabelen
    • scatterplot tekenen
• wat is nieuw
  • 15 meerkeuze + 5 open vragen
    • in plaats van 15 open vragen
    • de drie foute alternatieven zijn niet random maar gebaseerd op veelgemaakte fouten
    • puntenverdeling
      • vroeger: 2 punten per vraag
      • nu
        • 1 punt per meerkeuzevraag (met giscorrectie)?
        • 2 punten per open vraag?
  • geen bewijzen
  • geen vraag over verzamelingenleer
  • weinig combinatoriek
  • beperkt aantal vragen over nieuwe leerstof (modellen)
  • meer Steiner en Tchebychev oefeningen
  • meer weggevertjes
  • Van Mechelen had elke examenperiode nieuwe vragen
    • maar hier merken we toch wat hergebruik van oude vragen op

Meerkeuzevragen

Q1

• gegeven

• gevraagd
  • $\Phi_{2X+5Y}(11)$
• opties
  1. 0.50
  2. 0.75
  3. 0.90
  4. 1.00
• oplossing
  • $S = 2X + 5Y$
  • tabel omvormen
  • tabel uitbreiden met $S$
    • opgelet: sorteren op $S$ van klein naar groot
  • $\Phi_S(11) = 0.90$

Q2

• gegeven
  • cfreq
• gevraagd
  • $\sum_i \sum_{i'} (x_i - x_{i'})^2$
• oplossing
  • cfreq -> freq
  • $s_x^2$ via ZRM
  • $2s_x^2 = \frac{\sum_i \sum_{i'} (x_i - x_{i'})^2}{n^2}$
  • $\iff 2 n^2 s_x^2 = \sum_i \sum_{i'} (x_i - x_{i'})^2$

Q3

• gegeven
  • ?
• gevraagd
  • $Pc_{0.30}$

Q4

• gegeven
  • $X \sim N(80, 5^2)$
• gevraagd
  • welke stelling is onjuist?
    • de dichtheid van ... is kleiner dan die van ...
    • de dichtheid van ... is kleiner dan die van ...
    • de dichtheid van ... is kleiner dan die van ...
    • de dichtheid van ... is kleiner dan die van ...
• oplossing
  • dichtheid $\varphi_X(x)$ is lager als $x$ verder weg ligt van $\mu_X$
  • bereken afstand $|x - \mu_X|$
    • grotere afstand $\iff$ lagere dichtheid
    • $|79 - 80| = 1$
    • $|72 - 80| = 8$
    • $|91 - 80| = 11$
    • $|68 - 80| = 12$
  • dus $\varphi_X(68) < \varphi_X(91) < \varphi_X(72) < \varphi_X(79)$

Q5

• gegeven
  • klas, $n=35$
  • $\overline x = 12.6$
  • gemiddelde gekwadrateerde verschil van de punten met 10 is 9.1
• gevraagd
  • $s_x^2$
• oplossing
  • $\overline{(x - 10)^2} = 9.1$
  • Steiner
    • $\overline{(x - 10)^2} = \overline{(x - 12.6)^2} + (12.6 - 10)^2$
    • $\iff 9.1 = \overline{(x - 12.6)^2} + 2.6^2$
    • $\iff \overline{(x - 12.6)^2} = 2.34$
    • $\iff s_x^2 = 2.34$

Q6

• gegeven
  • multiple choice test van 20 vragen met score $X$ op 20
  • omgezet naar score $Y$ op 100
  • $\mu_Y = 61.5$
  • i.i.d.
• gevraagd
  • $\sigma_Y$
• oplossing
  • $\mu_X = \frac{61.5}{5} = 12.3$
  • $n = 20$
    • doet er niet toe dat score is omgezet op 100
    • er zijn maar 20 vragen, dus 20 kansen om punten te verdienen
  • $\theta = \frac{12.3}{20} = \frac{61.5}{100} = 0.615$
  • $X \sim Bin(20, 0.615)$
  • $\sigma_X^2 = n\theta(1-\theta) = 20 \cdot 0.615 \cdot 0.385 = 4.7355$
  • $\sigma_X = \sqrt{4.7355} \approx 2.1761$
  • $Y = 5X$
  • $\sigma_Y = \sigma_{5X} = |5|\sigma_X = \approx 10.8806$
• opties
  • 2.1761 -> dit is $\sigma_X$
  • 10.8806 -> dit is $\sigma_Y$
  • 23.6775 -> dit is $\sigma_A^2$ met $A \sim Bin(100, 0.615)$
  • 4.8660 -> dit is $\sigma_A$

Q7

• gegeven
  • 14 koppels $(x,y)$
• gevraagd
  • $Me_{X \mid Y=3}$
• oplossing
  • neem koppels waar $Y=3$
  • sorteer o.b.v. $x$-waarde van klein naar groot
  • als $n$ oneven
    • neem middelste waarde
  • als $n$ even
    • neem gemiddelde van twee middelste waardes

Q8

• gegeven
  • ?
• gevraagd
  • lineaire transformatie van covariantie
• oplossing
  • rekenregel
    • $s_{ax+b\;\;y} = as_{xy}$
  • en aangezien $s_{xy} = s_{yx}$ geldt ook
    • $s_{x\;\;cy+d} = s_{cy+d\;\;x} = cs_{yx} = cs_{xy}$
  • gecombineerd
    • $s_{ax+b\;\;cy+d}$
    • $= as_{x\;\;cy+d}$ (regel lineaire transformatie toegepast op $ax+b$)
    • $= acs_{xy}$ (regel lineaire transformatie toegepast op $cy+d$)
    • ...

Q9

• gegeven
  • $P(X \geq 110) = 0.30$
  • $P(Y \geq 110) = 0.10$
• welke variabele kan $\mu=100$ en $\sigma=5$ hebben?
• opties
  • $X$ en $Y$
  • enkel $X$
  • enkel $Y$
  • geen van beide
• oplossing
  • stel dat $\mu_X = \mu_Y = 100$ en $\sigma_X = \sigma_Y = 5$
  • test $X$
    • Tchebychev
      • $k = Z_X(110) = \frac{110 - 100}{5} = 2$
      • $P(|X - \mu_X| \geq k \sigma_X) \leq \frac{1}{k^2}$
      • $\iff P(|X-100| \geq 10) \leq \frac{1}{4}$
      • $\iff P(X \leq 90) + P(X \geq 110) \leq \frac{1}{4}$
      • $\iff P(X \geq 110) \leq \frac{1}{4}$
      • $\iff 0.30 \leq 0.25$
      • kan niet, dus gemiddele en/of variantie kloppen niet voor $X$
  • test $Y$
    • Tchebychev
      • $k = Z_Y(110) = \frac{110 - 100}{5} = 2$
      • $P(|Y - \mu_Y| \geq k \sigma_Y) \leq \frac{1}{k^2}$
      • $\iff P(|Y-100| \geq 10) \leq \frac{1}{4}$
      • $\iff P(Y \leq 90) + P(Y \geq 110) \leq \frac{1}{4}$
      • $\iff P(Y \geq 110) \leq \frac{1}{4}$
      • $\iff 0.10 \leq 0.25$
      • OK

Q10

• gegeven
  • elke conditie komt even vaak voor
  • tabel

• gevraagd
  • welke waarde is fout?
    • $b_0 = 7.75$
    • $b_1 = -1.50$
    • $b_2 = -1.25$
    • $b_3 = 0.25$

• oplossing
  • $Y = b_0 + b_1 X_1 + b_2 X_2 + b_3 X_1 X_2$
  • tabel uitbreiden (zie onder)
  • dan is ...
    • $b_0 = 7.75$
    • $b_1 = (7-8.5)/2 = -0.75$
    • $b_2 = (6.5-9)/2 = -1.25$
    • als $X_1 = X_2 = +1$, dan
      • $b_0 + b_1 + b_2 + b_3 = 6 \iff b_3 = 0.25$
    • dus $b_1$ is fout

Q11

• gegeven
  • werp met twee dobbelstenen
  • $X$: hoogste aantal ogen van de twee
• gevraagd
  • $E[X]$
• oplossing
  • $X = \max(X_1, X_2)$
  • tabellen opstellen
  • $E[X] = 4.4722$ (ZRM)

Q12

• gegeven
  • grafiek
• gevraagd
  • interkwartielbereik $IQR$
• oplossing
  • $Q_1 = \ldots$
  • $Q_3 = \ldots$
  • $IQR = Q_3 - Q_1$

Q13

• gegeven
  • OLV
  • $Y = f(X)$
  • $a$ zit 1 standaarddeviatie boven gemiddelde
• gevraagd
  • $y^{est}(a)$
• opties
  • $\overline y - r_{xy} s_x$
  • $\overline y + r_{xy} s_x$
  • $\overline y - r_{xy} s_y$
  • $\overline y + r_{xy} s_y$
• oplossing
  • $a = \overline x + 1 \cdot s_x$
  • $y^{est}(a)$
  • $= b_0 + b_1 a$
  • $= b_0 + b_1 (\overline x + s_x)$
  • $= (\overline y - b_1 \overline x) + b_1 (\overline x + s_x)$
  • $= \overline y - b_1 \overline x + b_1 \overline x + b_1 s_x$
  • $= \overline y + b_1 s_x$
  • $= \overline y + r_{xy} \frac{s_y}{s_x} s_x$
  • $= \overline y + r_{xy} s_y$

Q14

• cf. examen 2020-01-13, vraag 7
• gegeven
  • $W = (X+1)(Y+1)$
  • $\mu_X = \mu_Y = 0$
• gevraagd
  • $\mu_W$
• opties
  • $\mu_{XY}$
  • $0$
  • $\sigma_{XY} + 1$
  • $1$
• oplossing
  • opgepast: $\mu_{X \cdot Y} \neq \mu_X \cdot \mu_Y$
  • $W = XY + X + Y + 1$ (distributiviteit)
  • $\sigma_{XY}$
    • $= \mu_{XY} - \mu_X \mu_Y$ (chiastische eigenschap)
    • $= \mu_{XY}$ ($\mu_X = \mu_Y = 0$)
  • $\mu_W$
    • $= \mu_{XY} + \mu_X + \mu_Y + 1$ (somvariabelen)
    • $= \mu_{XY} + 1$
    • $= \sigma_{XY} + 1$

Q15

• gegeven
  • tabel
  • OLV
• gevraagd
  • proportie verklaarde variantie
• oplossing
  • $r_{xy} = \ldots$
  • $r_{xy}^2 = \ldots$

Open vragen

Q16

• cf. examen 2021-08-16, vraag 6
• gegeven
  • $X_1, X_2, X_3$ i.i.d.
• gevraagd
  • $\rho_{X_1\;\;X_1+X_2+X_3}$
• oplossing
  • $\sigma_{X_1+X_2+X_3}^2$
    • $= \sigma_{X_1}^2 + \sigma_{X_2}^2 + \sigma_{X_3}^2 + 2\sigma_{X_1 X_2} + 2\sigma_{X_1 X_3} + 2\sigma_{X_2 X_3}$ (somvariabelen variantie)
    • $= \sigma_{X_1}^2 + \sigma_{X_2}^2 + \sigma_{X_3}^2$ (onafhankelijk)
    • $= 3\sigma_{X_1}^2$ (identiek verdeeld, dus $\sigma_{X_1}^2 = \sigma_{X_2}^2 = \sigma_{X_3}^2$)
  • $\rho_{X_1\;\;X_1+X_2+X_3}$
    • $= \dfrac{\sigma_{X_1\;\;X_1+X_2+X_3}}{\sigma_{X_1} \sigma_{X_1+X_2+X_3}}$ (eigenschap correlatie)
    • $= \dfrac{\sigma_{X_1}^2 + \sigma_{X_1 X_2} + \sigma_{X_1 X_3}}{\sigma_{X_1} \sqrt{\sigma_{X_1+X_2+X_3}^2}}$ (somvariabelen covariantie)
    • $= \dfrac{\sigma_{X_1}^2}{\sigma_{X_1} \sqrt{\sigma_{X_1+X_2+X_3}^2}}$ (i.i.d.)
    • $= \dfrac{\sigma_{X_1}}{\sqrt{\sigma_{X_1+X_2+X_3}^2}}$ (vereenvoudig)
    • $= \dfrac{\sigma_{X_1}}{\sqrt{3\sigma_{X_1}^2}}$ (zie hierboven)
    • $= \dfrac{\sigma_{X_1}}{\sqrt{3}\sigma_{X_1}}$
    • $= \dfrac{1}{\sqrt{3}}$
    • $\approx 0.5774$
• merk op
  • $\rho_{X_1\;\;X_1} = 1$
  • $\rho_{X_1\;\;3X_1} = 1$
  • dit zou te gemakkelijk zijn voor een open vraag

Q17

• gegeven
  • $Y>5 \implies r_{xy} = 1$
  • $Y<3 \implies r_{xy} = -1$
  • $r_{xy} = 0$
• gevraagd
  • scatterplot
  • 8 punten
• oplossing
  • (veel mogelijkheden)
  • 4 punten op stijgende rechte vanaf $Y=6$
  • spiegellijn halverwege tussen $3$ en $5$, dus op $Y=4$
  • 4 punten op dalende rechte vanaf $Y=2$

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

data = pd.DataFrame({
    'X': [1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4],
    'Y': [6, 7, 8, 9, 2, 1, 0, -1]
})

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(data['X'][:4], data['Y'][:4], color='blue', label='$r_{xy} = 1$')
plt.scatter(data['X'][4:], data['Y'][4:], color='orange', label='$r_{xy} = -1$')
plt.axhline(y=4, color='green', linestyle='--', label='$Y=4$')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid(True)

Q18

• gegeven
  • $\varphi_X(x)= 1 \mid x \in [0.05, 0.25]$
  • $\varphi_X(x)= 2 \mid x \in [0.35, 0.65]$
  • $\varphi_X(x)= 4 \mid x \in [0.80, 0.85]$
• gevraagd
  • teken $\Phi_X$
• oplossing
  • dubbelcheck oppervlakte onder $\varphi_X$
    • $1 \cdot (0.25-0.05) = 0.20$
    • $2 \cdot (0.65-0.35) = 0.60$
    • $4 \cdot (0.85-0.80) = 0.20$
    • $0.20 + 0.60 + 0.20 = 1$ -> OK
    • dus $\varphi_X(x) = 0$ op andere plaatsen
  • teken $\Phi_X$
    • assen
      • horizontaal
        • label: $x$
        • schaal: $[0, 0.85]$ in stappen van $0.05$
      • verticaal
        • label: $\Phi_X(x)$
        • schaal: $[0, 1]$
    • elke rechthoek in $\varphi_X$ wordt een driehoek in $\Phi_X$

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

cdf_data = {
    'X': [0, 0.05, 0.25, 0.35, 0.65, 0.80, 0.85, 1],
    'Phi_X': [0, 0, 0.2, 0.2, 0.8, 0.8, 1, 1]
}

pdf_segments = {
    'range': [(0.05, 0.25), (0.35, 0.65), (0.80, 0.85)],
    'value': [1, 2, 4]
}

pdf_x = np.arange(0, 1.05, 0.05)
pdf_y = np.zeros_like(pdf_x)

for (start, end), value in zip(pdf_segments['range'], pdf_segments['value']):
    pdf_y[(pdf_x >= start) & (pdf_x <= end)] = value

x_ticks = np.arange(0, 1.05, 0.05)
fig, axs = plt.subplots(2, 1, figsize=(8, 12))
for (start, end), value in zip(pdf_segments['range'], pdf_segments['value']):
    axs[0].hlines(value, start, end, colors='black', lw=2)
    axs[0].plot([start, end], [value, value], 'ko')  # adding dot markers

axs[0].set_xticks(x_ticks)
axs[0].set_xlim(0, 1)
axs[0].set_ylim(0, 5)
axs[0].set_xlabel('$X$')
axs[0].set_ylabel('$\\varphi_X$')
axs[0].spines['top'].set_visible(False)
axs[0].spines['right'].set_visible(False)
axs[0].grid(True, which='both', linestyle='--', linewidth=0.5)
axs[0].tick_params(axis='x', rotation=45)

axs[1].plot(cdf_data['X'], cdf_data['Phi_X'], marker='o', color='black', linestyle='-')
axs[1].set_xticks(x_ticks)
axs[1].set_xlim(0, 1)
axs[1].set_ylim(0, 1.05)
axs[1].set_xlabel('$X$')
axs[1].set_ylabel('$\Phi_X$')
axs[1].spines['top'].set_visible(False)
axs[1].spines['right'].set_visible(False)
axs[1].grid(True, which='both', linestyle='--', linewidth=0.5)
axs[1].tick_params(axis='x', rotation=45)

plt.tight_layout()
plt.show()

Q19

• gegeven
  • $n=14$ dagen
  • $X$: stemming score $\in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
  • $Y$: dag
  • $X, Y$ onafhankelijk
  • $\pi_X(-1) = \pi_X(0) = \pi_X(1) = \pi_X(2)$
  • $\pi_X(-2) = 0.5\pi_X(-1)$
• gevraagd
  • $E[S_X^2]$
• oplossing
  • stel $\pi_X(-2) = \theta$
  • tabel opstellen
  • $9\theta = 1 \iff \theta = \frac{1}{9}$
  • $\sigma_X^2 = \frac{140}{81}$ (ZRM)
  • $E[S_X^2]$
  • $= \frac{n-1}{n} \sigma_X^2$
  • $= \frac{13}{14} \frac{140}{81}$
  • $= \frac{130}{81}$
  • $\approx 1.6049$

Q20

• cf. examen 2020-08-17, vraag 8
• gegeven
  • $L$: lichamelijke klachten
  • $V$: cursus voltooid
  • ?: therapie gevolgd
  • $P(L) = 0.30$
  • $P(V \mid L) = 0.70$
  • $P(V \mid L^c) = 0.85$
• gevraagd
  • $P(L^c \mid V^c)$
• oplossing
  • $P(L^c) = 1 - P(L) = 0.70$
  • $P(V^c \mid L) = 1 - P(V \mid L) = 0.30$
  • $P(V^c \mid L^c) = 1 - P(V \mid L^c) = 0.15$
  • $P(L^c \mid V^c)$
  • $= \dfrac{P(V^c \mid L^c) P(L^c)}{P(V^c)}$
  • $= \dfrac{P(V^c \mid L^c) P(L^c)}{P(V^c \mid L)p(L) + P(V^c \mid L^c)P(L^c)}$
  • $= \dfrac{0.15 \cdot 0.70}{0.30 \cdot 0.30 + 0.15 \cdot 0.70}$
  • $= \dfrac{0.105}{0.09 + 0.105}$
  • $\approx 0.5385$