Reconstructie examen Statistiek 1 - augustus 2025

• https://docs.google.com/document/d/1Z5TfYk9LPDBLgi-R2wbGntl4GehMt4dFek1Y50mL4Vc/edit

Meerkeuzevragen

Q1

• gegeven
  • $p_X$ tabel
• gevraagd
  • $P(X \geq x_{0.80})$
• oplossing
  • $x_{0.80} = 18$
  • $P(X \geq 18) = 0.37$

Q2

• gegeven
  • geld inzameling
  • school A
    • gemiddelde: 6.20 EUR
  • school B
    • gemiddelde: 4.90 EUR
  • school A heeft driemaal meer leerlingen dan school B
• gevraagd
  • gewogen gemiddelde ingezameld geld over de scholen heen
• oplossing
  • $\overline a = 6.20$
  • $\overline b = 4.90$
  • $n_A = 3 n_B$
  • $\dfrac{n_A \cdot 6.20 + n_B \cdot 4.90}{n_A + n_B}$
  • $= \dfrac{3 n_B \cdot 6.20 + n_B \cdot 4.90}{4 n_B}$
  • $= \dfrac{3 \cdot 6.20 + 4.90}{4}$
  • $= 5.875$

Q3

• gegeven
  • multivariaat
  • tabellen voor $X_1, X_2$
• gevraagd
  • wel/geen hoofdeffect $X_1$
  • wel/geen hoofdeffect $X_2$
  • wel/geen interactie

Q4

• gegeven
  • reisbrochure
    • 3 Duitse bestemmingen
    • 4 Italiaanse bestemmingen
    • 5 Franse bestemmingen
• gevraagd
  • kans om evenveel Duitse als Italiaanse te kiezen uit 5 random bestemmingen
• oplossing
  • 0 Duitse en Italiaanse
    • $P(FFFFF) = \frac{5}{12} \frac{4}{11} \frac{3}{10} \frac{2}{9} \frac{1}{8} = \frac{1}{792} = \frac{1}{\binom{12}{5}}$
  • 1 Duitse en Italiaanse
    • $P(DIFFF) = \displaystyle {5 \choose 1, 1, 3} \frac{3}{12} \frac{4}{11} \frac{5}{10} \frac{4}{9} \frac{3}{8} \approx 0.1515$
  • 2 Duitse en Italiaanse
    • $P(DDIIF) = \displaystyle {5 \choose 2, 2, 1} \frac{3}{12} \frac{2}{11} \frac{4}{10} \frac{3}{9} \frac{5}{8} \approx 0.1136$
      • $\displaystyle {5 \choose 2, 2, 1} = \dfrac{5!}{2! 2! 1!} = 30$
  • 3 or meer Duitse en Italiaanse
    • onmogelijk
  • totaal
    • $\frac{1}{792} + 0.1515 + 0.1136 \approx 0.2664$

Q5

• gegeven
  • $X \sim Poisson(1)$: aantal gebeurtenissen in 5 ms
• gevraagd
  • hoe aantal gebeurtenissen in 1 seconde modelleren?
    • $Y \sim Poisson(0.005)$
    • $Y \sim Poisson(5)$
    • $Y \sim Poisson(0.2)$
    • $Y \sim Poisson(200)$
• oplossing
  • eigenschap: proportionaliteit
    • $X^s \sim Poisson(s \lambda)$
  • $s = \frac{1 s}{5 ms} = \frac{1000 ms}{5 ms} = 200$
  • $Y = X^{200} \sim Poisson(200)$

Q6

• gegeven
  • $n = 4$
  • $s_x^2 = a$
• gevraagd
  • zuivere schatter voor variantie $\sigma_X^2$
• oplossing
  • $s_x^2$ is asymptotisch zuivere schatter
  • $s_x^{\prime 2}$ is zuivere schatter
  • $s_x^{\prime 2} = \frac{n}{n-1} s_x^2 = \frac{4}{3} a$

Q7

• gegeven
  • frequentietabel voor $X$
• gevraagd
  • wat is het bovenste punt van de bovenste snorhaar bij een boxplot met uitbijters?
• oplossing
  • $\max(X) = 47$
  • $Q_3 + 1.5IQR = 48.75$
  • $\min(\max(X), Q_3 + 1.5IQR) = 47$

Q8

• gegeven
• gevraagd
  • $c$ zodat $\frac{1}{n} \sum_i (x_i - c)^2$ minimaal is
• oplossing
  • $c = \overline x$ (Steiner)
  • $\frac{1}{n} \sum_i (x_i - c)^2 = \frac{1}{n} \sum_i (x_i - \overline x)^2 = s_x^2$

Q9

• gegeven
  • $Y = |X|$
  • frequentietabel voor $X$
• gevraagd
  • $s_y^2$
• oplossing
  • kolom $Y$ berekenen
  • samenvallende frequenties optellen
  • $s_y^2$ uitrekenen via ZRM

Q10

• gegeven
  • $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
• gevraagd
  • $P(Z_X(X) \leq 3)$
• oplossing
  • $Z_X(X) \sim N(0, 1)$
  • statistische tabellen
  • $P(Z_X(X) \leq 3) = 0.9987$

Q11

• gegeven
  • kans op medicatie vergeten per dag: $0.10$
  • patiënten worden 20 dagen opgevolgd
• gevraagd
  • hoeveel dagen nemen ze de medicatie juist in
• oplossing
  • $X \sim Bin(20, 0.90)$
  • $\mu_X = n \vartheta = 18$

Q12

• gegeven
  • $n = 2$
  • $s_x \neq 0$
    • dus $x_1 \neq x_2$
• gevraagd
  • $Z_X(X)$ scores van de twee observaties
• oplossing
  • steekproef: $x_1, x_2$
  • we weten niet wat de waarde van de twee observaties is
  • maar we kunnen wel hun z-scores uitrekenen
  • $\overline x = \frac{x_1 + x_2}{2}$
  • $x_1 - \overline x = x_1 - \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{x_1 - x_2}{2}$
  • $x_2 - \overline x = x_2 - \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{x_2 - x_1}{2} = -(x_1 - \overline x)$
  • $s_x$
    • $= \sqrt{\frac{1}{2} \left((x_1 - \overline x)^2 + (x_2 - \overline x)^2\right)}$
    • $= \sqrt{\frac{1}{2} (x_1 - \overline x)^2 + \frac{1}{2} (x_2 - \overline x)^2}$
    • $= \sqrt{\frac{1}{2} (x_1 - \overline x)^2 + \frac{1}{2} (-(x_1 - \overline x))^2}$
    • $= \sqrt{\frac{1}{2} (x_1 - \overline x)^2 + \frac{1}{2} (x_1 - \overline x)^2}$
    • $= \sqrt{(x_1 - \overline x)^2}$
    • $= |x_1 - \overline x|$
  • $Z_X(x_1)$
    • $= \frac{x_1 - \overline x}{s_x}$
    • $= \frac{x_1 - \overline x}{|x_1 - \overline x|}$
    • $= \pm 1$ (naargelang of $x_1$ of $x_2$ het grootste is)
  • $Z_X(x_2)$
    • $= \frac{x_2 - \overline x}{s_x}$
    • $= \frac{x_2 - \overline x}{|x_1 - \overline x|}$
    • $= \frac{-(x_1 - \overline x)}{|x_1 - \overline x|}$
    • $= \mp 1$
  • conclusie: de z-scores zijn steeds +1 en -1
  • dubbelcheck
    • gemiddelde van -1 en +1 is 0
    • standaarddeviatie van -1 en +1 is 1 (via ZRM)

Q13

• gegeven
  • ?
• gevraagd
  • (a) $P(\ldots > 3)$
  • (b) $x_{0.30}$

Q14

• gegeven
  • $X$ en $Y$
  • bivariate conditonele tabel $p_{Y \mid X=x}$
• gevraagd
  • $s_{xy}$
• oplossing
  • tabel omzetten naar $p_{X, Y}$
    • $P(Y=y \mid X=x) = \frac{P(X=x, Y=y)}{P(X=x)}$
    • $\iff P(X=x, Y=y) = P(Y=y \mid X=x) {P(X=x)}$
  • covariantie berekenen

Q15

• gegeven
  • mentale gezondheid stagiair
  • startscore: 50
  • 12 weken behandeling
  • eindscore: 60
  • gemiddelde 60 en 75 (?)
• gevraagd
  • wekelijkse toename in mentale gezondheidsscore
• oplossing
  • (vraag onduidelijk)
  • 10 punten gestegen op 12 weken
  • $\frac{10}{12} \approx 0.8333$ gestegen per week

Q16

• gegeven
  • $\overline x = 50$
  • $s_x^2 = 16$
  • $\overline y = 60$
  • $s_y^2 = 9$
• gevraagd
  • kans dat $X$ en $Y$ meer dan $70$ scoren
    • (a) beide meer dan 5% kans
    • (b) geen van beide meer dan 5%
    • (c) $X$ wel meer dan 5% kans, $Y$ niet meer dan 5% kans
    • (d) $X$ niet meer dan 5% kans, $Y$ wel meer dan 5% kans
• oplossing
  • Tchebychev: $p(|Z_X| \geq k) \leq \dfrac{1}{k^2}$
  • $z_x = Z_X(70) = \frac{70 - 50}{4} = 5$
    • $p(|Z_X| \geq z_x) \leq \dfrac{1}{z_x^2} = 0.04$
  • $z_y = Z_Y(70) = \frac{70 - 60}{3} = \frac{10}{3}$
    • $p(|Z_Y| \geq z_y) \leq \dfrac{1}{z_y^2} = \frac{3^2}{10^2} = 0.09$
  • dus (d)

Open vragen

Q1

• gegeven
  • iemand is ziek geworden op maandagochtend en besmet gemiddeld 0.8 mensen per dag
• gevraagd
  • wanneer besmet hij de eerste persoon
• oplossing
  • wachttijd en continu, dus Expon model
  • $X \sim Expon(\lambda = 0.8)$: wachttijd tot volgende besmetting
  • optie 1 - met gemiddelde
    • $\mu_X = \frac{1}{\lambda} = 1.25$
    • dus volgende besmetting is gemiddeld na 1.25 dagen (dinsdagmiddag)
  • optie 2 - met mediaan
    • $\Phi_X(t) = 1 - e^{-\lambda t} = 0.5$
    • $\iff e^{-\lambda t} = 0.5$
    • $\iff -\lambda t = \ln(0.5)$
    • $\iff t = \frac{-\ln(0.5)}{\lambda} \approx 0.8664$
    • dus na 0.87 dagen is er gemiddeld 50% kans dat de volgende persoon besmet is

Q2

• gegeven
  • $X$: score op een willekeurige vraag
  • meerkeuze examen
    • $n$ vragen
    • 5 antwoordopties per vraag
    • giscorrectie
      • correct: $+1$
      • fout: $\frac{-1}{4}$
  • student heeft 70% van de vragen gestudeerd
  • kans op een juist antwoord op een gekende vraag: $0.85$
• gevraagd
  • $\overline x$
• oplossing
  • gemiddelde score op ongekende vraag (gokken)
    • $1 \cdot \frac{1}{5} + \frac{-1}{4} \cdot \frac{4}{5} = 0$
  • gemiddelde score op gekende vraag
    • $1 \cdot 0.85 + \frac{-1}{4} \cdot 0.15 = 0.8125$
  • totaal: $0.70 \cdot 0.8125 + 0.30 \cdot 0 \approx 0.5688$

Q3

• gegeven
  • somvariabelen
  • $T = \ldots$
  • ...
• gevraagd
  • $\sigma_T$
• oplossing
  • $\sigma_T^2$ uitschrijven
    • $\sigma_{a_0 + \sum_k a_k X_k}^2 = \sum_k \sum_{k'} a_k a_{k'} \sigma_{X_k X_{k'}}$
  • $\sigma_T = \sqrt{\sigma_T^2}$

Q4

• cf. examen 2020-01, Q16
• gegeven
  • OLV
  • $W = Y^2$
  • $w_i^{est} = 22.29 + 2.14x_i$
  • $\overline{x} = 2.2$
  • $\overline{y} = 5$
• gevraagd
  • $\overline{w}$
• oplossing
  • $b_0 = \overline{w} - b_1 \overline x$
  • $\iff \overline{w} = b_0 + b_1 \overline x$
  • $= 22.29 + 2.14 \cdot 2.2$
  • $= 26.9980$